Un hermoso juego

Ahora que llega la rentrée y con ella los libros de texto, muchos, padres e hijos, se reencontrarán con las matemáticas, que suscitan tantos odios como adhesiones. Con la idea de llamar su atención sobre este juego conceptual de las matemáticas, que sólo ha hecho bien a la Humanidad, he preparado el siguiente y nada original relato.

Ya en su época, Leibniz sostuvo que todo lo que es verdadero es demostrable. Leibniz pensaba, incluso, que todas las verdades son demostrables.

A principios del siglo XX, un notable matemático alemán, llamado David Hilbert, fundó un movimiento con el que pretendía crear una especie de Summa matemática, es decir, reescribir todo lo que se había descubierto desde Pitágoras con unas bases nuevas y firmes y una cohe~ rencia total. Pártiendo de muy pocos axiomas (evidencias que no necesitan demostración), se trataba de construir un sólido edificio completo e inatacable. A esa labor colectiva y revolucionaria se sumaron los modernos lógicos, entre otros los del Círculo de Viena, pero la obra que mejor resume y explica aquellos esfuerzos la escribieron dos ingleses: Bertrand Russell y Alfred Whitehead y se titula Principia Mathematica. El primer volumen se publicó en 1910.

Los matemáticos creyeron poseer, al fin, un arma decisiva mediante la cual podrían abordar nuevos descubrimientos y derribar definitivamente la ciudadela en la que resistían muy viejas conjeturas, como la de Goldbach o la de Fermat. Esa oleada "leibniziana" iba pronto a chocar contra una roca que nadie había previsto. En 1931, un jovencísimo matemático moravo que vivía en Viena y se llamaba Kurt Gódel, con un trabajo al que puso un largo, descriptivo y humilde título: Sobreproposiciones formalmente indecidibles en los "Principia Mathematica y sistemas afines, echó por tierra todas las seguridades y esperanzas anunciadas. Gödel demostró, entre otras cosas, que si el conjunto de axiomas de una teoría es coherente, existen en ella teoremas que no se pueden refutar ni demostrar, que son indecidibles.

Muchos matemáticos, que estaban trabajando en las citadas conjeturas y en otras, quedaron anonadados, sumidos en una desorientación dramática, sin saber si aquello en lo que estaban trabajando tenía solución o no.

Por ejemplo, la conjetura dé Goldbach: "Todo número par mayor que dos es la suma de dos números primos". En efecto, la conjetura ha llegado hasta nosotros en los términos en los que se ha expresado más arriba, pero Christian Goldbach, que era tutor del zar, no, la formuló así en al famosa carta que le envió a Leonhard Euler en 1742. Lo que Goldbach escribió realmente fue esto: "Todo entero puede expresarse como la suma de tres números primos". Fue Euler quien fácilmente dedujo que lo escrito por Goldbach equivale a lo que acabamos de escribir. En efecto, tomemos un número par. Si ha de ser la suma de tres primos, uno de ellos es el dos, pues la suma de dos números primos siempre es par y el dos ese¡ único tercer. primo que mantiene esa paridad. Si suprimimos el dos llegamos a la formulación expresada en primer lugar. Otro de los enigmas era el último teorema de Fermat. En aquella época no era aún un teorema, pues nadie hasta entonces había conseguido demostrarlo. Tampoco nadie había dado con un contraejemplo, por lo cual se suponía que la conjetura era cierta.

Pierre de Fermat, que era un cuco, dejó escrito que él había dado con la demostración. Fermat tenía como profesión la de juez, una gente que no suele ser muy piadosa con el prójimo y menos en el siglo XVIL En sus ratos libres se dedicaba a las matemáticas y martirizaba a sus colegas con hallazgos cuya demostración él se guardaba. Por ejemplo, sostuvo que el 26 es el único número que existe emparedado entre un cuadrado (25) y un cubo (27). Lo proclamó a los cuatro vientos dentro de la escasa comunidad matemática de la época y les desafió a que lo demostraran. No pudieron. Esta vez él sí tenía la demostración. Fermat, que poseía un talento envidiable, trabajó o se entretuvo, que nunca se sabrá, con uno de los tomos de la Aritmetica de Diofanto y en los márgenes escribió el enunciado de multitud de teoremas, sin preocuparse de sus demostraciones. Por ejemplo, el teorema de los primos. El enunciado es sencillo: todo número primo es el producto de cuatro por otro número más uno o menos uno. los primeros ‑escribió Fermat‑ se pueden descomponer en la suma de dos cuadrados, los segundos no. Euler, más de un siglo después de la muerte de Fermat, consiguió demostrarlo. Para ello empleó siete años, lo que no es poco tratándose de una cabeza tan privilegiada como la de Euler

Todas las conjeturas, que Fermat escribió en los márgenes de la Aritmética de Diofanto, más tarde o más temprano, fueron demostradas, convirtiéndose así en teoremas. Todas menos una: el último teorema de Fermat.

Un alemán llamado Pául Wolfskehl, rico y aficionado a las matemáticas, rechazado por una dama de la que estaba perdidamente enamorado, decidió suicidarse en una fecha fija, justo cuando sonaran las campanadas de la media noche. llegado el día y para entretener las pocas horas que le quedaban, se puso a estudiar un artículo de Kummer, en el cual destroza la supuesta solución al enigma de Fermat que habían propuesto Cauchy y Lamé. lo tomó con tanto empeño que se le fue el santo al cielo sin que se apercibiera de que su hora había sonado. Ya de madrugada, decidió que el suicidio le privaba de conocer el final de la trama. Rompió las cartas de despedida que había escrito, se olvidó de la dama y cambié su testamento. Cuando tras su muerte, en 1908, el testamento fue leído, la familia quedó espantada. Paul había dejado un buen pellizco de su fortuna, 100.000 marcos, como premio para quien demostrara el último teorema de Fermat. El dinero fue depositado en la Real Sociedad de la Ciencia en Gotinga, esperando a que se resolviera el enigma.

Pitágoras, que vivió en el siglo sexto antes de Cristo, demostró que existen infinitas ternas de números enteros en las que la suma de los cuadrados de dos de ellos es igual al cuadrado de un tercero. En efecto, los lados de cualquier triángulo rectángulo la cumplen, pues la suma de los cuadrados de sus dos lados menores es igual al cuadrado del lado mayor.

   En 1637, Pierre de Fermat escribió que para una potencia mayor que dos no existe ninguna terna de números enteros (x, y, z) que cumpla la igualdad: x ‑ + y‑ = z_. Fermat escribió esta conjetura en el margen de un libro, el tomo segundo de la Aritmética de Diofanto. De los trece tomos de la Aritmética, sólo seis sobrevivieron a la negritud de la Edad Media y Fermat trabajaba sobre una traducción de la obra hecha al latín por Bachet de Méziriac. En el margen de ese libro escribió, también en latín: "Es imposible escribir un cubo como la suma de dos cubos o, en general, escribir cualquier potencia mayor que dos como la suma de dos potencias iguales'. Debajo de este enunciado añadió una travesura que ha vuelto locos a los matemáticos durante 358 años. La coda de Fermat decía así: "Poseo una prueba en verdad maravillosa para esta afirmación, pero este margen le viene demasiado estrecho". Fermat jamás habló a nadie de este asunto que se conoció tras su muerte, ocurrida en 1665, cuando en 1670 su hijo publicó la Aritmética de Diofanto con observaciones de Pierre de Fermat.

Si Fermat decía tener la demostración, ¿cómo resultaba tan difícil reelaborarla? El desafío o la provocación eran demasiado explícitos para no coger el guante. Los mejores matemáticos de las distintas épocas se pusieron manos a la obra, consiguiendo demostrarlo para potencias bajas: 3, 4... Pero la conjetura seguía resistiéndose.

Casi ayer mismo, en 1995, un matemático de Cambridge llamado Andrew Wiles, que trabaja en Princeton y desde niño estuvo obsesionado con el teorema de Fermat, consiguió, al fin, demostrarlo. No fue un camino de rosas y en el último tramo Wiles sufrió un auténtico tormento. En junio de 1993, Wiles dio tres conferencias en el Instituto Newton de Cambridge y en la última anunció la demostración, desarrolló los pasos principales, escribió la fórmula de Fermat en la pizarra, dijo: "pararé aquí'' y se sentó, dejando al auditorio con un palmo de narices. luego envió la demostración completa a una revista de prestigio, Inventiones Mathematicae y, dada la trascendencia del asunto, ésta la remitió a seis especialistas distintos. Algunos de ellos no lo vieron claro, también Nick Katzs, un amigo de Wiles, encontró fallos no triviales en la demostración. Al final de ese año, 1993, Wiles admitió que la demostración tenia un error. El año 1994 fue un calvario para Wiles, pero en septiembre las nubes se disiparon definitivamente. Publicó, bajo su firma, un artículo en la revista Annals of Mathematics de 1995 que contenía la demostración definitivamente admitida por todos. Wiles recibió, entre otros muchos honores, los 100.000 marcos de premio que el alemán Wolfskehl había instituido en 1908 para quien resolviera el enigma.

La de Fermat cayó derrotada, pero la de Goldbach y otras muchas siguen en pie, quizá porque están bajo el imperio de Gödel y son indecidibles... o quizá no.